Dos números sumados y multiplicados

Cuando queremos hallar dos números que sumados den cierta cantidad y multiplicados otra parece una tarea extremadamente complicada. Pero existe una forma mecánica de realizar esto, como ejemplo lo siguiente:

x+y = 6 xy = -247

Podemos observar que es un sistema de ecuaciones. Vamos a despejar a una variable en la primera ecuación, hagámoslo para x:

x = 6-y

El siguiente paso es reemplazar x en la segunda ecuación por su equivalente 6 – y:

(6-y)y = -247

Desarrollemos con propiedad distributiva y despejemos todo al mismo lado:

6y – y^2= -247 6y – y^2 + 247= 0

Ordenemos con respecto al exponente de y:

-y^2 +6y + 247 = 0

Obtuvimos una ecuación de segundo grado, eso quiere decir que podemos resolverla usando la fórmula general de la ecuación cuadrática:

y = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 – 4ac}}{2a}

Reemplazamos las variables por los valores de los coeficientes de la expresión, es decir:

  • a=-1
  • b=6
  • c=247
y = \frac {-(6) \pm \sqrt {(6)^2 – 4(-1)(247)}}{2(-1)}

Simplifiquemos:

y = \frac {-6 \pm \sqrt {36 + 4(247)}}{-2} y = \frac {-6 \pm \sqrt {36 + 988}}{-2} y = \frac {-6 \pm \sqrt {1024}}{-2} y = \frac {-6 \pm 32}{-2}

Debemos considerar dos soluciones debido al \pm del resultado:

y_1 = \frac {-6 + 32}{-2},\quad y_2 = \frac {-6 – 32}{-2} y_1 = \frac {26}{-2},\quad y_2 = \frac {- 38}{-2} y_1 = -13,\quad y_2 = 19

Tendríamos dos respuestas finales:

1)y= -13, x = 19 2)y = 19, x =-13

Que si observamos detenidamente, sólo estamos intercambiando los valores en las dos variables.

Este método, a pesar de ser seguro, es muy tedioso y tardado, pero existen ciertos conocimientos que podemos usar a nuestro favor para obtener el resultado de una manera mucho más rápida. Se explican a continuación.


Trucos

Cuando se nos presente un problema de dos números sumados y multiplicados, podemos sacar provecho dividiendo el problema en 3 casos y usar la técnica correspondiente, están descritos a continuación. Cada caso puede comprobarse usando el método formal expuesto anteriormente.

Caso 1. El producto es 0

Planteemos el siguiente problema:

x+y=7 xy=0

Ya que el producto es 0, puedo decir que uno de los dos números es 0. Por lo tanto las respuestas son las siguntes:

1)x =7,\quad y = 0 2)x=0,\quad y=7

Caso 2. El producto es negativo

Cuando esto sucede, podemos estar seguros de que las dos cantidades tienen signos opuestos, es decir, una es positiva y la otra negativa, ya que los otros casos nos darían un producto positivo (las dos cantidades positivas o las dos negativas).

Antes de plantear un problema quiero recalcar el siguiente hecho que nos servirá de base:

Si se tienen dos números que multiplicados dan un número z, z<0 y sumados dan 0 (recordemos que tienen signos opuestos), entonces podemos estar seguros de que los números son la raíz cuadrada y el inverso aditivo de ésta del valor absoluto de z. Vamos con un ejemplo:

x+y = 0\\xy = -16

Tenemos dos soluciones:

1)x = \sqrt{16},\quad y = -\sqrt{16}\\ x = 4,\quad y = -4 2)x = -\sqrt{16},\quad y = \sqrt{16}\\ x = -4,\quad y = 4

Es decir, basta con obtener la raíz cuadrada de |z|,una será positiva y otra negativa.

Ahora usemos ese conocimiento para resolver algo más complejo. Analicemos el ejemplo que se resolvió con la fórmula general de la ecuación cuadrática:

x+y = 6 xy = -247

Supongamos por un momento que x+y = 0:

x+y = 0 xy = -247

Entonces la respuesta (sólo se tomará una para explicar) sería la raíz de 247 y su inverso aditivo, partamos de alli:

x = \sqrt{247},\quad y= -\sqrt{247}\\x \approx 15.7,\quad y \approx-{15.7}

Retomemos este hecho:

x+y = 6

Vamos a remover su parte decimal, ya que no nos interesa, nuestro objetivo es que la respuesta sean enteros (si es posible, de otro modo, nos daremos cuenta de que no lo son):

x = 15,\quad y =-15

Sabemos que éstos números multiplicados están muy cerca del número deseado (-247):

Si a los dos números que tengo ahora les remuevo unidades acercándolos a 0, sé que al multiplicarlos me alejaré del producto deseado, de hecho, obtengo un número más cercano a 0. Análogamente, cuando les aumento unidades a los dos números, obtengo un número más alejado del 0. Entonces, cuando le doy unidades a uno, tengo que disminuirle al otro para mantenerme cerca de -247.

Le daré 6 unidades más a uno que a otro para que al sumarlos me den como resultado 6. Nota que el número que debe tener mayor número de unidades es el postivo, para que cuando hagamos la suma nos quede 6 positivo. Hagamos una prueba, alejemos 5 unidades a x del 0 y acerquemos 1 a y:

x = 15+5,\quad y= -15+1\\ x = 20,\quad y = -14

Entonces esta condición se cumple:

20+(-14) = 6

Pero:

(20)(-14) = -280

Nos hemos pasado de la cantidad por un poco, por lo que intentaré acercar una unidad al 0 a las dos cantidades, manteniendo la primer condición:

x = 20-1,\quad y = -14+1\\x=19,\quad y = -13

Ahora las dos condiciones se cumplen:

19+(-13) = 6\\ (19)(-13) = -247

Por lo que esos son los números que buscamos, ahora sólo ponemos las dos soluciones (los números intercambiados):

1) x = 19,\quad y = -13\\2)x = -13,\quad y = 19

El método puede parecer al principio confuso y un poco largo (debido a que se estuvo explicando paso a paso), pero una vez que se entiende la escencia de lo que se hace, simplifica mucho los cálculos en más de una ocasión. En resumen, estos son los pasos a seguir cuando la los números están sumados y el producto es negativo:

  1. Sacar la raíz del valor absoluto del producto(los negativos no tienen raíz cuadrada) y tomar los dos números como la raíz y su inverso aditivo.
  2. Dar unidades a uno y quitar a otro para cumplir la condición de la suma.
  3. Verificar que se cumpla la multiplicación, si no, dar o quitar unidades según el resultado.

Eventualmente se llegará al resultado con unos pocos cálculos sencillos , y en caso de que no, sabrás entre qué enteros se encuentra la respuesta (ahí se recomienda usar el método de la fórmula general de la ecuación cuadrática).

Caso 3. El producto es positivo

Cuando esto sucede, podemos estar seguros de que las dos cantidades tienen signos iguales, es decir, las dos son positivas o las dos son negativas, sólo hay que fijarnos en la suma para definir su signo. Analicemos lo siguiente:

x+y = 25\\xy =136

Podemos decir que las dos cantidades del ejemplo son positivas, ya que multiplicadas dan un positivo y sumadas dan positivo.

Enfoquémonos en la condicion x+y=25 y en que sólo vamos a analizar en los enteros, en un caso límite, casi todas las unidades las tendría un número:

x = 24,\quad y = 1\\24+1=25\\(23)(1) = 24

Observemos que nos da un produco muy lejano a lo que queremos, en realidad, es muy bajo. Probemos dándole una unidad a y pero quitándosela a x con el fin de mantener la condición de la suma:

x = 23,\quad y = 2\\23+2=25\\(23)(2) = 46

Sigue siendo un producto muy bajo, pero podemos percatarnos que mientras los números x y y están más cerca, su producto es mayor. En otras palabras, su producto mayor de enteros estaría dado por los números mas cercanos a la mitad de 25(12.5):

x = 13,\quad y = 12\\13+12=25\\(13)(12) = 156

En este caso, estamos muy cerca del producto 136.

En resumen, mientras más acercas los números, su producto es mayor, y si los alejas, el producto es menor.

Como tenemos un producto mayor, vamos a darle dos unidades a x y a y se las quitamos para mantener la suma (las unidades se eligen al tanteo):

x = 15,\quad y = 10\\15+10=25\\(15)(10) = 150

Separémoslos dando a x y quitando a y otras 3 porque seguimos teniendo un producto mayor al deseado:

x = 18,\quad y = 7\\18+7=25\\(18)(7) = 126

Tenemos un producto menor al deseado, entonces hagamos lo opuesto, démosle 1 unidad a y y quitémosela a x para acercar las cantidades:

x = 17,\quad y = 8\\17+8=25\\(17)(8) = 136

Hemos encontrado los números, demos las dos soluciones:

1)x = 17, \quad y= 8\\2)x = 8, \quad y= 17

En resumen, éstos son los pasos a seguir cuando los números están sumados y el producto es negativo:

  1. Identificar los casos límite usando la distribución de unidades que hicimos en la suma (menor y mayor producto) y partir del más cercano al deseado.
  2. Si nuestro producto es mayor, distribuimos las unidades para que las dos cantidades sean más lejanas, de otro modo, distribuimos para que sean más cercanas, siempre manteniendo la condición de la suma.

Eventualmente llegaremos al resultado. En caso de no encontrar la solución, sabremos entre qué enteros está y muy probablemente tendremos que usar la fórmula general de la ecuación cuadrática, ya que se trata de números con parte decimal.

Si determinamos en un problema que son dos números negativos, puede seguirse el mismo procedimiento sin problema.

Este método puede ahorrarte muchos cálculos tediosos simplemente conociendo cómo se comporta el producto de los números de acuerdo a cómo distribuyes las unidades.

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