Factorización

¿Qué es la factorización?

La factorización (tambien llamada descomposición factorial) es un proceso que consiste en presentar una expresión algebráica en una descomposición de factores, es decir, una multiplicación. Recordemos que los factores son los elementos que se multiplican y al resultado se le conoce como producto.

Existen distintos métodos de factorización dependiendo de la expresión a tratar, pero el objetivo siempre es el mismo, simplificar una expresión reescribiéndola en factores. Lo contrario a la factorización es la expansión.

En términos generales existen dos tipos de factorizacion:

  • La factorización de números enteros
  • La factorización de expresiones algebráicas

¿Cómo factorizar un número entero?

Basados en el Teorema Fundamental de la Aritmética, afirmamos que todo entero positivo mayor que 1 es un número primo o bien, un número compuesto (un único producto de números primos). Como ejemplo tenemos la siguiente tabla:

NúmeroFactorizaciónTipo
22Primo
33Primo
42×2Compuesto
55Primo
62×3Compuesto
77Primo
82x2x2Compuesto
93×3Compuesto
102×5Compuesto

Factorización de expresiones algebráicas

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión. Por ejemplo:

x^2+3x+2 = (x+2)(x+1)

Los factores son (x+2) y (x+1).

Existen diversas técnicas para realizar una factorización de una expresión algebraica, he aquí las más comunes.

Factorización mediante búsqueda de factor común

En esta factorización se busca un patrón que tengan en común todos términos del polinomio. Comencemos con la siguiente expresión:

3x+3

Se puede observar que el número 3 está presente en los dos términos de la expresión. Por lo que podemos aplicarle la propiedad distributiva:

3x+3 = 3(x+1)

Un ejemplo menos trivial:

100x^4y^2z-25x^2y^2z

Los dos coeficientes tienen como máximo común divisor(MCD) el número 25, adeḿas, en términos de x,las dos expresiones tienen como MCD x^2 y así con las demás literales:

100x^4y^2z-25x^2y^2z = 25x^2y^2z(4x^2-1)

Factorización usando productos notables

Muchas veces una expresión se puede factorizar usando productos notables, por lo que es conveniente conocerlos, por ejemplo, el cuadrado de un binomio:

a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 = (a+b)(a+b)

Factorización de ecuaciones de segundo grado usando fórmula general:

ax^2 + bx+c

Cualquier ecuación de segundo grado puede factorizarse usando la fórmula general de la ecuación cuadrática, ya que nos permite encontrar las raíces del polinomio (valores cuando éste es igual a 0). Aquí un caso, queremos factorizar la expresión:

6x^2 -7x-3

Usamos la fórmula general:

x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 – 4ac}}{2a}

Reemplazamos las variables por los valores de los coeficientes de la expresión, es decir:

  • a=6
  • b=-7
  • c=-3
x = \frac {-(-7) \pm \sqrt {(-7)^2 – 4(6)(-3)}}{2(6)}

Simplifiquemos:

x = \frac {7 \pm \sqrt {49 – 4(-18)}}{12}
x = \frac {7 \pm \sqrt {49 + 72}}{12}
x = \frac {7 \pm \sqrt {121}}{12}
x = \frac {7 \pm 11}{12}

Debemos considerar dos soluciones debido al \pm del resultado:

x_1 = \frac {7 + 11}{12}, x_2 = \frac {7 – 11}{12}
x_1 = \frac {18}{12}, x_2 = \frac {-4}{12}
x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = \frac{-1}{3}

En las dos ecuaciones despejamos todo a la izquierda para igualarlas a 0:

x_1 – \frac{3}{2} = 0, x_2 + \frac{1}{3} = 0

Ahora, multipliquemos esas dos expresiones usando la propiedad distributiva:

(x – \frac{3}{2})(x + \frac{1}{3}) = x^2 +\frac{x}{3} – \frac{3x}{2} – \frac{3}{6} = x^2 + (\frac{1}{3} – \frac{3}{2})x -\frac{1}{2} = x^2 -\frac{7}{6}x – \frac{1}{2}

Escribiendo directamente el resultado para mayor claridad tenemos que:

(x – \frac{3}{2})(x + \frac{1}{3}) = x^2 -\frac{7}{6}x – \frac{1}{2}

La ecuación que queremos factorizar ( 6x^2 -7x-3 ) tiene un coeficiente 6 en el término cuadrático ( 6x^2 ), por lo que multiplicaremos por 6 los dos lados de nuestra igualdad:

(6)(x – \frac{3}{2})(x + \frac{1}{3}) = (6)(x^2 -\frac{7}{6}x – \frac{1}{2})
(6)(x – \frac{3}{2})(x + \frac{1}{3}) = 6x^2 -7x – 3

Con eso hemos encontrado la factorización de 6x^2 -7x-3 :

(6)(x – \frac{3}{2})(x + \frac{1}{3})

En caso de que se prefiera algo más estético:

(6)(x – \frac{3}{2})(x + \frac{1}{3}) = (2)(3)(x – \frac{3}{2})(x + \frac{1}{3}) = [(2)(x – \frac{3}{2})][(3)(x + \frac{1}{3})] = (2x-3)(3x+1)

Es decir:

(6)(x – \frac{3}{2})(x + \frac{1}{3}) = (2x-3)(3x+1)

También pueden factorizarse trinomios sin usar la fórmula general como se explica a continuación.


Factorización de trinomio:

acx^2 + (ad+bc)x+bd

Como es un trinomio de la forma acx^2 + (ad+bc)x+bd, sus facores son de la forma (ax+b)(cx+d), lo que dificulta su operación.

Supongamos que queremos factorizar el mismo caso anterior, pero manualmente:

6x^2 -7x-3

Para comenzar, se multiplicará la expresión por 1, eso no afecta nuestro valor por lo que son iguales:

6x^2 -7x-3 = 1\cdot(6x^2 -7x-3)

Se cambiará convenientemente el 1 por \frac{6}{6} (nota que siempre se elige el coeficiente del término cuadrático, o sea el 6 en este caso), con el motivo de facilitar la factorización del trinomio del numerador:

1\cdot(6x^2 -7x-3) = \frac{6}{6}(6x^2 -7x-3) = \frac{6\cdot (6x^2 -7x-3)}{6}

Los desarrollamos de tal forma que se pueda factorizar como dos binomios de la forma (ax+b)(ax+c):

\frac{6\cdot (6x^2 -7x-3)}{6} = \frac{6 \cdot6x^2 -6\cdot7x-6\cdot3}{6} =\frac{(6x)^2 -7(6x)-18}{6}

El primer término ahora puede factorizarse como (6x)(6x), por lo que ahora sabemos que la ecuación que buscamos tiene esta forma:

\frac{(6x+ b)(6x+c)}{6}

Desarrollamos lo el numerador de lo que queremos obtener:

\frac{(6x+ b)(6x+c)}{6}= \frac{(6x)^2+(b+c)(6x)+bc}{6}

Igualemos nuestros dos resultados:

\frac{(6x)^2 -7(6x)-18}{6} = \frac{(6x)^2+(b+c)(6x)+bc}{6}

Sabemos ahora que necesitamos dos números que sumados den como resultado -7 y multiplicados -18, o sea, -9 y 2 (véase cómo obtener números sumados y multiplicados):

(-9)+(2) = -7, (-9)(2) = -18

Por lo tanto, podemos afirmar que lo siguiente:

\frac{(6x)^2 -7(6x)-18}{6} = \frac{(6x)^2+(-9+2)(6x)+(-9)(2)}{6} = \frac{(6x – 9)(6x+ 2)}{6}

Vamos a simplificar un poco usando la propiedad distributiva en los factores del numerador:

\frac{(6x – 9)(6x+ 2)}{6} = \frac{(3)(2x-3)\cdot(2)(3x+1)}{6} = \frac{(3)(2)(2x-3)(3x+1)}{6} = \frac{(\cancel{6})(2x-3)(3x+1)}{\cancel{6}}

Como resultado final, obtenemos lo mismo que con el método de la fórmula general (sección anterior):

6x^2 -7x-3 = (2x-3)(3x+1)

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