Inducción matemática

La inducción matemática es un método de demostración que permite demostrar una proposición que depende de una variable n que toma una infinidad de valores enteros no negativos, es decir, los números naturales (\mathbb{N}).

¿Cómo funciona?

La demostración por inducción matemática consta de 3 pasos para cualquier proposición p(n):

  1. Base de la Inducción: Se demuestra que el primer natural cumple la propiedad (generalmente es el número 1).
  2. Hipótesis de Inducción: Se supone que para algún número k que pertenece a los números naturales, p(k) es verdadero.
  3. Tesis de Inducción: Se demuestra que p(k+1) es verdadera.

Ejemplo

No hay mejor manera de entender la inducción matemática que practicando, por lo que se expone el siguiente problema.

Supongamos que nos han dejado como tarea sumar todos los naturales desde el 1 hasta el 100, es decir:

\sum_{i=1}^{100}i = 1+2+3+…+98+99+100

Evidentemente es muy tedioso hacer los cálculos a mano, aunque es posible, ¿pero qué pasaría si la próxima vez nos piden calcular hasta el 10,000?, llegará un momento en el que ya no sea lógico hacer ese procedimiento, por lo que una fórmula para calcular hasta cualquier natural nos facilitaría mucho el trabajo. Tratemos de generalizar lo que queremos.

Ahora queremos sumar los primeros n naturales, o sea:

\sum_{i=1}^{n}i = 1+2+3+…+n

Vayamos a un caso pequeño para poder analizar mejor el problema, sumemos hasta el número 6:

1+2+3+4+5+6 =21

Fácilmente sumamos de par en par los números para obtener el resultado, pero tratemos de hallar un patrón. Si tomamos el primer y último término (el 1 y el 6) y los sumamos, dan como resultado 7, y eso mismo dan el segundo y penúltimo término (2 y 5) y los restantes (3 y 4):

  • 1+6 = 7
  • 2+5 = 7
  • 3+4 = 7

Tenemos 3 parejas de números que sumados dan como resultado 7, pongámoslo en relación con el número 6, que es hasta el natural que estamos sumando:

21= 7+7+7 = 7(3) = (6+1)(\frac{6}{2})

Exponiéndolo para cualquier caso, podemos creer que ésta es la fórmula para calcular hasta el nésimo natural:

\sum_{i=1}^{n}i = 1+2+3+…+n = (n+1)(\frac{n}{2})

Probemos con el 5 de manera manual:

1+2+3+4+5 = 15

De nuevo pero usando la fórmula propuesta:

(5+1)(\frac{5}{2}) = \frac{(6)(5)}{2} = \frac{30}{2} = 15

¡Perfecto! Nuestra fórmula propuesta ha funcionado también para este caso, aunque todavía tenemos un problema enorme, y es que no podemos asegurar que la fórmula funciona para cualquier sumatoria hasta el nésimo natural, porque sólo hemos probado para dos casos (5 y 6) y si tratáramos de hacerlo para todos, es imposible, debido a que los números naturales son infinitos.

Aquí es donde la inducción matemática entra en acción, ya que con ella podemos probar la veracidad de nuestra fórmula.

Demostración por inducción matemática

Paso 1. Base de Inducción

Aquí demostraremos para el caso más simple. Cuando queremos sumar hasta el primer natural (1), que nos daría como resultado 1:

\sum_{i=1}^{1}i = 1

Probémoslo con la fórmula (n+1)(\frac{n}{2}) donde n=1:

(1+1)(\frac{1}{2}) = (2)(\frac{1}{2}) = 1

Con esto hemos cumplido el primer paso.

Paso 2. Hipótesis de Inducción

Hemos probado para el caso más simple, por lo que ahora podemos afirmar con toda certeza que la fórmula se cumple para alguna sumatoria hasta un natural k:

\sum_{i=1}^{k}i = 1+2+3+…+k = (k+1)(\frac{k}{2})
Paso 3. Tesis de Inducción

Demostraremos que se cumple también para el natural k+1, éste es el objetivo:

\sum_{i=1}^{k+1}i = 1+2+3+…+k+(k+1) = ([k+1]+1)(\frac{[k+1]}{2})

En otras palabras, si se cumple para todos, es válido calcular el k+1 simplemente evaluándolo en la fórmula.

Demostración:

Primero asociemos términos a nuestra conveniencia.

1+2+3+…+k+(k+1) = (1+2+3+…+k)+(k+1)

Por hipótesis de inducción, podemos decir que eso es equivalente a esto:

(1+2+3+…+k)+(k+1) = (k+1)(\frac{k}{2})+(k+1)

Desarrollaremos un poco poniendo esos términos en fracciones con mismo denominador y usaremos propiedad distributiva:

(k+1)(\frac{k}{2})+(k+1) = \frac{(k+1)k}{2} + \frac{2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)k + 2(k+1)}{2}= \frac{(k+2)(k+1)}{2}

Lo transformamos a como lo queremos:

\frac{(k+2)(k+1)}{2} = (k+2)\frac{(k+1)}{2} = ([k+1]+1)\frac{([k+1])}{2}

Hemos cumplido el objetivo, por lo que nuestra fórmula es cierta para cualquier natural desde 1 (que es nuestra Base de Inducción).

¿Recuerdas cuando probamos para nuestro primer caso? Sabíamos que se cumplía en ése número k nuestra hipótesis de inducción, por lo que la lógica se encarga de probar para el número 2(k+1), después de eso, el número 2 ya está probado y se vuelve el nuevo k, por lo que se podrá probar el número 3(k+1) y así sucesivamente formando un efecto dominó que se extiende hasta el infinito. La hipótesis de inducción es lo que nos sirve para poder crear el efecto, cuando hagas una inducción, siempre debes hallar la forma de usarla en la demostración.

Finalmente podemos estar 100% seguros de que la fórmula nos dará la respuesta correcta evaluando en el número 100 y cualquier otro natural:

\sum_{i=1}^{100}i = 1+2+3+…+98+99+100 = (101)(50) = 5050

Hemos concluido nuestra tarea y podemos probar para cualquier otro natural.

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