Leyes de los exponentes

Las leyes de los exponentes (también llamadas reglas de los exponentes) son la forma en la cual podemos operar a los exponentes.

LeyEjemplo
x^1=x5^1=5
x^0=1, x \neq 05 ^0 = 1
x^{-1}=\frac{1}{x}, x \neq 05^{-1}=\frac{1}{5}
x^{-n}=\frac{1}{x^n}, x \neq 05^{-3}=\frac{1}{5^3}
x^m \cdot x^n = x^{m+n}5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3}=5^5
\frac{x^m }{ x^n} = x^{m-n}\frac{5^3 }{ 5^2} = 5^{3-2} = 5
(x^m)^n = x^{m \cdot n}(5^3)^2 = 5^{3 \cdot 2} = 5^6
(xy)^m = x^{m}y^{m}(2 \cdot 3)^4 = 2^{4} \cdot 3^{4}
(\frac{x }{ y})^m = \frac{x^m }{ y^m}(\frac{5 }{ 2})^3 = \frac{5^3 }{ 2^3}
(x)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}(4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{4} = 2
(x)^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}(8)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = 4

Explicación

Esto no corresponde a una demostración formal, pero ayuda a comprender de dónde surge cada ley. Te darás cuenta  de que todas pueden ser obtenidas mediante el razonamiento.

Comencemos afirmando que cualquier número tiene como exponente implícito 1:

\mathbf{x^1=x}

Aplicarle un exponente a un número significa multiplicarlo por sí mismo n veces, es decir:

x^3=x \cdot x \cdot x

Supongamos que queremos multiplicar x^3\cdot x^2, entonces usemos el conocimiento anterior para operarlo:

x^3 \cdot x^2 =(x \cdot x \cdot x) \cdot (x \cdot x) = ( x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x ) = x^5

De forma general:

\mathbf{x^m \cdot x^n = x^{m+n}}

La división se haría de manera análoga:

\frac{x^3}{x^2} = \frac{ x \cdot \cancel{x \cdot x}}{ \cancel{x \cdot x}}= x^1 = x

De forma general: 

\mathbf{\frac{x^m }{ x^n} = x^{m-n}}

Sabemos que al dividir un número entre sí mismo da como resultado 1 (siempre y cuando el número no sea 0), por ejemplo:

\frac{5}{5}=1

Hagámoslo con exponentes:

\frac{x^5}{x^5} = x^{5-5} = x^0

Por lógica decimos que:

\mathbf{x^0 = 1}, x \neq 0

Ahora, con un exponente mayor en el denominador, dividamos manualmente esta expresión: 

\frac{x^2}{x^4} = \frac{\cancel{x \cdot x} }{ x \cdot x \cdot \cancel{x \cdot x}} = \frac{1}{x\cdot x} = \frac{1}{x^2}

Veamos qué obtenemos con la regla que definimos para la división:

\frac{x^2}{x^4}= x^{2-4} = x^{-2}

Entonces se puede decir lo siguiente:

x^{-2} = \frac{1}{x^2}

Más  formal:

\mathbf{x^{-n}=\frac{1}{x^n}, x \neq 0}

Elevemos un número exponenciado a otro exponente:

(x^2)^3 = x^2 \cdot x^2 \cdot x^2 = x^{2+2+2} = x^{2(3)} = x^6

Concluimos:

\mathbf{(x^m)^n = x^{m \cdot n}}

Ahora analicemos esto:

(xy)^2 = (xy) \cdot (xy) = x \cdot y \cdot x \cdot y = x \cdot x \cdot y \cdot y = (x \cdot x) \cdot (y \cdot y)  =x^2 \cdot y^2

Es decir:

\mathbf{(xy)^m = x^{m}y^{m}}

Tratemos de obtener una regla para este caso:

(\frac{x}{y})^2

Se puede expresar esa fracción como una multiplicación:

(\frac{x}{y})^2 = (x \cdot \frac{1}{y})^2

Se usa el conocimiento de que x^{-n}=\frac{1}{x^n}

(\frac{x}{y})^2= (x \cdot \frac{1}{y})^2 = (x \cdot y^{-1})^2

Podemos aplicar más propiedades para llegar rápidamente al resultado, pero se procederá manualmente por fines didácticos:

(\frac{x}{y})^2= (x \cdot \frac{1}{y})^2 = (x \cdot y^{-1})^2 = (x \cdot y^{-1}) \cdot (x \cdot y^{-1}) = x \cdot y^{-1} \cdot x \cdot y^{-1} = x \cdot x \cdot y^{-1} \cdot y^{-1} = (x \cdot x) \cdot (y^{-1} \cdot y^{-1}) = x^{1+1} \cdot y^{(-1)+ (-1)} = x^{2} \cdot y^{-1-1} = x^{2} \cdot y^{-2} = x^{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} = \frac{x^2}{y^{2}}

Dicho de una forma general:

\mathbf{(\frac{x }{ y})^m = \frac{x^m }{ y^m}}

Pasando a otro concepto, definamos algo para:

x^{\frac{1}{2}}

A primera vista no tiene mucho sentido, pero vamos a operarlo de una manera inteligente para conocer su significado, multipliquémoslo por sí mismo:

x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x^1 = x

Lo que quiere decir esto es que x^{\frac{1}{2}} es la raíz cuadrada de x. Por lo que inferimos esto:

\mathbf{(x)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}}

Por último, analicemos lo siguiente:

x^{\frac{3}{2}}

La fracción \frac{3}{2} puede ser descompuesta de la siguiente manera:

x^{\frac{3}{2}} = x^{3 \cdot \frac{1}{2}}

Se usa el hecho de que x^{m \cdot n}=(x^m)^n

x^{\frac{3}{2}} =x^{3 \cdot \frac{1}{2}} = (x^3)^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{x^3}

Dicho de una manera general:

\mathbf{(x)^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}}

Con esto concluye la explicación de las leyes de los exponentes.

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