Progresión aritmética

Una progresión aritmética, tambien llamada sucesión aritmética, es una sucesión de números a_1, a_2, a_3… en los que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera a_{n+1}-a_n es el número constante d, es decir a_{n+1}= a_n + d para toda n.

Algunos ejemplos de progresiones aritméticas son:

1,2,3,4,5… (\text{d=1 y }a_1 = 1 ) 2,4,6,8,10… (\text{d=2 y }a_1 = 2) 0,-\frac{1}{2},-1,-\frac{3}{2}… (d=-\frac{1}{2} \text{ y } a_1 = 0 )

Clasificación

Las progresiones aritméticas se pueden clasificar por medio de la constante d:

creciente: Cada término es mayor que el anterior. d>0

constante: Todos los términos son iguales. d=0

decreciente: Cada término es menor que el anterior. d<0

Definición recursiva

Cualquier progresión aritmética a_1+a_2+…+a_n puede determinarse por recurrencia. Para calcular cualquier término n>1, a_n = a_{n-1}+d, es decir, necesitamos conocer el término anterior y la constante para calcular el término que deseamos. Usemos la definición recursiva:

Tenemos la progresión que comienza en a_1 = 1 y tiene constante d = 2 , para obtener el 6 término, tendríamos que calcular el 5 término, y para tener ése, necesitamos el 4, y así sucesivamente hasta llegar al 1 término, por lo que tendríamos que desarrollar toda la progresión:

1,3,5,7,9,11

Definición no recursiva

Vayamos un paso más adelante y tratemos de obtener una definición no recursiva, es decir, que para calcular el enésimo térimino no tengamos que desarrollar todos los anteriores. Tomemos como ejemplo la progresión aritmética general:

a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n

Sabemos que a_2 = a_1+d, reemplazamos:

a_1+(a_1+d)+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n

Sabemos que a_3 = a_2+d, reemplazamos:

a_1+(a_1+d)+(a_2+d)+\cdots+a_{n-1}+a_n

Volvemos a reemplazar el nuevo término a_2:

a_1+(a_1+d)+(a_1+d+d)+\cdots+a_{n-1}+a_n

Nos estamos dando cuenta de que para cada término necesitamos el término a_1 y tantas veces la constante como se necesite, comenzando a agregarla desde el segundo término:

a_1+(a_1+d)+(a_1+d+d)+\cdots+(a_1+[n-2]d)+(a_1 +[n-1]d)

Entonces, para calcular cualquier término en una progresión aritmética conociendo el primer término y la constante puede usarse la siguiente fórmula:

a_n = a_1 +(n-1)d

Si retomamos el ejemplo de la sucesión anterior donde queríamos calcular la 6 posición, tendríamos lo siguiente:

a_6 = 1 +(6-1)2 = 1+(5)2 = 1+ 10 = 11

Ahora podemos conocer cualquier término de la sucesión sin necesidad de conocer el anterior.

Definición no recursiva conociendo cualquier término

Puede darse el caso en el que conozcamos un enésimo término y la constante. No podríamos usar nuestra fórmula no recursiva actual, ya que no conocemos el primer término, por lo que vamos a ampliar su definición. Definamos no recursivamente dos términos a_m,a_n de cualquier sucesión:

a_n = a_1+(n-1)d a_m = a_1+(m-1)d

Restemos estas igualdades para tratar de simplificar lo más posible:

a_n-a_m = [a_1+(n-1)d]-[a_1+(m-1)d] a_n-a_m = \cancel{a_1}+(n-1)d-\cancel{a_1}-(m-1)d a_n-a_m =(n-1)d-(m-1)d

Apliquemos propiedad distributiva en d:

a_n-a_m =[(n-1)-(m-1)]d a_n-a_m =[n-1-m+1]d a_n-a_m =[n-m]d

Despejemos para a_n:

a_n =a_m+(n-m)d

Hemos ampliado nuestra definición no recursiva, ahora podemos conocer cualquier término a_n de la progresión conociendo otro a_m y la constante d. Si le das un vistazo a nuestra nueva fórmula, antes el término conocido era el primero de la sucesión, es decir: m=1.

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