Propiedad distributiva

También conocida como ley distributiva de la multiplicación y división. Afirma que la multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos, como ejemplo simple:

(a+b)\cdot x = a\cdot x + b\cdot x

De una forma más general:

(a_1+a_2+…+a_n)\cdot x = a_1\cdot x+a_2\cdot x+…+a_n\cdot x

Ejemplo

Analicemos lo siguiente tratando de dar un resultado concreto:

(3+7)\cdot 5

Por lógica, se simplifican primero los sumandos y después se resuelve la multiplicacion:

(3+7)\cdot 5 = (10)5 = 50

Si aplicamos la propiedad distributiva, obtenemos el mismo resultado:

(3+7)\cdot 5 = (3)(5)+(7)(5) = 15+35 = 50

Usándolo en tareas más complejas, este conocimiento puede aplicarse en la multiplicación de cualquier par de polinomios, desarrollemos este ejemplo de una multiplicación de dos binomios:

(a+b)(c+d)

Se tomará (c+d) como la cantidad x del primer ejemplo, por lo que podemos aplicar la propiedad distributiva:

(a+b)(c+d) = a(c+d) + b(c+d)

Se obtuvo una suma del caso más simple de la propiedad distributiva, siendo así un proceso recursivo (se volverá a aplicar lo mismo), desarrollemos lo que obtuvimos:

(a+b) (c+d)= a(c+d) + b(c+d)= (ac + ad) + (bc + bd) = ac + ad + bc + bd

Ésa sería la forma de multiplicar esos dos binomios.

Ahora hagámoslo para cualquier caso de pares de polinomios con n y m términos:

(x_1+x_2+…+x_n)(y_1+y_2+…+y_m)

Apliquemos la propiedad distributiva recursivamente:

(x_1+x_2+…+x_n)(y_1+y_2+…+y_m) = x_1(y_1+y_2+…+y_m)+x_2(y_1+y_2+…+y_m)+…+x_n(y_1+y_2+…+y_m) = x_1y_1 + x_1y_2+…+x_1y_m+x_2y_1 + x_2y_2+…+x_2y_m+…+x_ny_1 + x_ny_2+…+x_ny_m

En resumen, para multiplicar cualquier par de polinomios, todos los posibles pares de términos que no pertenezcan al mismo polinomio se multiplican, y luego se suman los resultados. Este conocimiento se obtiene a partir de la propiedad distributiva.

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