Coeficiente binomial

El coeficiente binomial o combinaciones (sin repetición) corresponde al número de formas en que se puede extraer subconjuntos de tamaño k a partir de un conjunto de n elementos distintos. Éstas son algunas maneras en las que se representa y recibe el nombre de combinaciones de n en k:

\binom{n}{k},\quad nCk

En los coeficientes binomiales, el orden no importa, es decir, es lo mismo escoger A y B que B y A, de otro modo, estaríamos hablando de permutaciones. Para calcular combinaciones sin repetición, tenemos la siguiente fórmula:

\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!(k)!}

Se le dice coeficiente binomial debido a que éstos aparecen en el desarrollo del binomio de Newton y son coeficientes de los términos. Además, conforman los términos del triángulo de Pascal, por lo que también pueden ser obtenidos construyéndolo.

Explicación

Para ilustrar mejor el concepto de coeficiente binomial, realizemos un ejercicio. Supongamos que tenemos 5 personas etiquetadas como A,B,C,D,E. Queremos saber de cúantas formas podemos elegir a 2 personas para que visiten un museo. Hay que recalcar que es lo mismo escoger A y B que B y A, por lo tanto el orden no importa. Usemos notación para representar lo que queremos:

\binom{5}{2}

En total, existen 10 formas de hacer esto:

A,BA,CA,DA, E
B,CB,DB, E
C,DC, E
D, E

Si lo vemos de una manera analítica, tendríamos 2 casillas en los que poner a nuestras dos personas:

\_ \quad \_

En el primera casilla tendríamos 5 opciones, después al querer llenar la otra nos quedarían sólo 4 porque 1 persona ya estará en la primera, entonces por el principio fundamental de conteo decimos que hay 5×4 formas diferentes de hacer esto, pero hay que recordar que escoger A y B es lo mismo que escoger B y A, por lo que cada pareja tiene una permutación. Estamos contando todo dos veces, así que el resultado hay que dividirlo entre dos:

\binom{5}{2} = \frac{(5\cdot4)}{2} = 10

Hagamos otro ejemplo un poco más complejo, ahora supongamos que son 7 personas y queremos elegir 3 de ellas para que visiten el museo. Tendríamos 3 casillas con 7x6x5 posibilidades por el principio fundamental de conteo:

\underline{7}\cdot\underline{6}\cdot\underline{5}

Pero hay que recordar que tomar A,B,C es lo mismo que A,C,B e igual que B,C,A, etc. Hay que hallar una forma de contar todas las permutaciones que tiene un solo grupo para excluirlas de nuestro resultado. Analicemos de cuántas formas pueden acomodarse A, B y C en tres casillas:

En la primera casilla podríamos poner cualquiera de los tres, en la segunda alguno de los dos restantes y en la tercera el que falte, por el principio fundamental del conteo las permutaciones estarían dadas por 3x2x1 que es lo mismo que 3! (véase factorial):

\underline{3}\cdot\underline{2}\cdot\underline{1} = 3!

Decimos entonces que nuestro resultado debe ser dividido entre 3! para excluir todas las permutaciones de cada grupo:

\binom{7}{3} = \frac{7\cdot 6\cdot 5}{3!} = 35

Intentemos razonar ahora una fórmula para calcular cualquier combinación generalizando el problema.

Problema generalizado

Tenemos un grupo de n personas y queremos elegir a k personas para visitar un museo, por lo tanto, habrá k casillas. En la primera podrán sentarse n personas diferentes, en la segunda n-1 y así sucesivamente hasta llegar a n-(k-1)= n-k+1:

\underline{n}\cdot\underline{(n-1)}\cdot\underline{(n-2)}\cdots\underline{(n-k+1)}

Ahora tenemos que calcular las permutaciones que tiene cada grupo de k personas.

Si tenemos k personas, entonces tenemos k lugares, en el primero pueden acomodarse k, luego k-1 y así sucesivamente hasta llegar a 1. Por lo que es equivalente a k!:

\underline{k}\cdot\underline{(k-1)}\cdot\underline{(k-2)}\cdots\underline{1} = k!

Entonces las combinaciones de n en k estarían dadas por la siguiente fórmula:

\binom{n}{k} = \frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2) \cdots (n-k+1)}{k!}

Con la intención de simplificar la fórmula, observemos que el numerador se puede “completar” a n! multiplicando por (n-k)!, así que multipliquemos eso en el numerador y el denominador para mantener el mismo valor y así no se afectará nuestro cálculo.

\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2) \cdots (n-k+1)}{k!}\cdot \frac{(n-k)!}{(n-k)!}= \frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2) \cdots (n-k+1)\cdot (n-k)! }{(n-k)!(k)!} = \frac{n!}{(n-k)!(k)!}

En resumen, esta es la fórmula simplificada para calcular las combinaciones de n en k:

\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!(k)!}

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