Coeficientes binomiales complementarios

Debido a la simetría del triángulo de pascal respecto a su eje vertical, se producen los coeficientes binomiales complementarios:

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

Hay que resaltar el siguiente hecho:

k+(n-k) = n

Por lo tanto, si dos coeficientes binomiales son complementarios, cuando sumamos los números de elementos que están tomando esto es igual al total de objetos (n).

Ejemplo

Queremos saber si \binom{13}{4} nos da el mismo resultado que \binom{13}{9}. Entonces sólo sumamos 4+9 =13, y como nos dio el total de objetos, son complementarios, es decir, nos dan el mismo resultado.

Demostración

Partamos del lado derecho para llegar al izquierdo mediante equivalencias:

\binom{n}{n-k}

Aplicamos la definición de coeficiente binomial:

\binom{n}{n-k} = \frac{n!}{(n-[n-k])!(n-k)!}

Desarrollamos el denominador:

\frac{n!}{(n-[n-k])!(n-k)!} = \frac{n!}{(n-n+k)!(n-k)!} = \frac{n!}{(k)!(n-k)!}

Ordenemos ese resultado a como lo queremos:

\frac{n!}{(k)!(n-k)!} = \frac{n!}{(n-k)!(k)!}

Por definición de coeficiente binomial:

\frac{n!}{(n-k)!(k)!} = \binom{n}{k}

Por transitividad:

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

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