Demostración de la regla del cambio de base (logaritmos)

Enunciado

La regla del cambio de base dice lo siguiente: Se puede cambiar la base de cualquier logaritmo de una base a a otra b de acuerdo a la siguiente manera:

\log_a{M} = \frac{\log_b{M}}{\log_b{a}}

Demostración:

Primero definamos el logaritmo de M con base  a:

\log_a{M} = T \Longleftrightarrow a^T = M

Trabajaremos con el lado derecho:

a^T = M

Se van a aplicar logaritmo de base b de los dos lados de la igualdad:

\log_b{(a^T)} = \log_b{M}

Por la regla de la potencia en los logaritmos, se puede bajar el exponente T multiplicando:

T \cdot \log_b{a} = \log_b{M}

Despejamos para T:

T = \frac{  \log_b{M} }{ \log_b{a}}

Obtuvimos el valor de T al inicio de la demostración, lo reemplazamos:

\log_a{M} = \frac{  \log_b{M} }{ \log_b{a}} \square

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