Demostración de la fórmula general para la ecuación cuadrática

x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 – 4ac}}{2a}

Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar y usarla puede ahorrar mucho trabajo. La fórmula cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación de la forma ax^2+bx+c.

Donde el coeficiente a debe ser diferente de 0, de otra forma, no se trataría de una ecuación cuadrática.

Demostración

Partamos de la ecuación:

ax^2+bx+c = 0

Lo primero que debemos hacer es dividir entre a los dos lados de la igualdad, recordemos que podemos hacerlo ya que garantizamos que es diferente de 0.

\frac{ax^2+bx+c}{a} = \frac{0}{a}

0 dividido entre otro número sigue siendo 0.

\frac{ax^2+bx+c}{a} = 0

Lo obtenido es lo mismo que dividir cada término entre a .

\frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}+ \frac{c}{a} = 0

Simplificamos en el término cuadrático a .

x^2+\frac{b}{a}x+ \frac{c}{a} = 0

Despejamos \frac{c}{a} al lado derecho.

x^2+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}

Observa que se puede completar un trinomio cuadrado perfecto (TCP) del lado izquierdo. El siguiente paso es sumar \frac{b^2}{4a^2} al los dos lados para mantener la igualdad.

x^2+\frac{b}{a}x + \mathbf{\frac{b^2}{4a^2}} = \mathbf{\frac{b^2}{4a^2}} -\frac{c}{a}

Al tener un TCP del lado izquierdo, la ecuación puede verse de la siguiente forma.

\mathbf{(x + \frac{b}{2a})^2} = \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a}

Desarrollamos la resta de fracciones del lado derecho.

(x + \frac{b}{2a})^2 = \mathbf{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}

Obtenemos la raíz cuadrada de ambos lados.

\sqrt{(x + \frac{b}{2a})^2} = \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}

Se cancela el cuadrado con la raíz en el lado izquierdo.

(x + \frac{b}{2a}) = \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}

Se usa el hecho de que \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}

Simplificamos el denominador del lado derecho.

x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Pasamos el \frac{b}{2a} al lado derecho

x = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} – \mathbf{\frac{b}{2a}}

Tienen el mismo denominador, por lo que podemos hacerla una sola fracción.

x = \frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}-b}{2a}

Ordenamos un poco para que sea igual a la que todos conocemos.

x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Y así es como se obtiene la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, recuerda que al usarla debes considerar dos soluciones, debido al \pm en la fórmula.

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