Demostración de la regla del producto (logaritmos)

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores.

log_a{(MN)} = log_a{M} + log_a{N}

Demostración:

Primero definamos los  logaritmos de los números M y N con base a:

\log_a{M} = T \Longleftrightarrow a^T = M \log_a{N} = U \Longleftrightarrow a^U = N

Tomando en cuenta que a^T = M y a^U = N:

a^T \cdot a^U = M \cdot N

Simplificamos del lado izquierdo con la ley de exponentes que dice x^m\cdot x^n = x^{m+n}:

a^{T +U} = MN

Aplicamos la definición de logaritmo en esa igualdad:

a^{T +U} = MN \Longleftrightarrow log_a{(MN)} = T+ U

Por lo que se definió al principio de la demostración, se conocen los valores de T y U, así que los reemplazamos en la ecuación:

log_a{(MN)} = \log_a{M}+ \log_a{N} \square

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