Demostración de la igualdad del logaritmo con el logaritmo del inverso multiplicativo de la base y el número

El logaritmo de M en base a es igual al logaritmo de \frac{1}{M} en base \frac{1}{a}, es decir, se obtiene el mismo resultado si evalúas la base y el número del logaritmo con sus inversos multiplicativos:

\log_a{M} = \log_{\frac{1}{a}} {\frac{1}{M}}

Demostración:

Primero definamos el logaritmo de M con base  a:

\log_a{M} = T \Longleftrightarrow a^T = M

Trabajaremos con el lado derecho:

a^T = M

Por propiedad de los logaritmos, M (y por lo tanto a^T, ya que son iguales) no puede ser 0. Entonces, puedo obtener sus inversos multiplicativos (ya que no estaría dividiendo entre 0) y éstos a su vez serán iguales:

\frac{1}{a^T} = \frac{1}{M}

Usando el hecho de que 1 elevado a cualquier potencia siempre es 1, puedo elevarlo a T, manteniendo la igualdad:

\frac{1}{a^T}= \frac{1^T}{a^T}

Puedo sacar T usando la ley de exponentes que dice que \frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m:

\frac{1^T}{a^T} = (\frac{1}{a})^T

Por lo tanto, reemplazando en la igualdad:

(\frac{1}{a})^T = \frac{1}{M}

Ahora, aplico la definición de logaritmo a esta igualdad:

log_{\frac{1}{a}}{\frac{1}{M}} = T \Longleftrightarrow (\frac{1}{a})^T = \frac{1}{M}

Observemos el lado izquierdo:

log_{\frac{1}{a}}{\frac{1}{M}} = T

Al principio de la demostración se había definido el valor de T:

log_{\frac{1}{a}}{\frac{1}{M}} = T = \log_a{M}

Por transitividad:

\log_a{M}  = log_{\frac{1}{a}}{\frac{1}{M}} \square

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