Demostración de la regla del cociente (logaritmos)

Enunciado de la regla del cociente

La regla del cociente dice lo siguiente: El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

\log_a{(\frac{M}{N})} = \log_a{M} – \log_a{N}

Demostración:

Primero definamos los  logaritmos de los números M y N con base a:

\log_a{M} = T \Longleftrightarrow a^T = M

\log_a{N} = U \Longleftrightarrow a^U = N

Tomando en cuenta que a^T = M y a^U = N:

\frac{a^T}{ a^U} = \frac{M}{N}

Simplificamos del lado izquierdo con la ley de exponentes que dice \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}:

a^{T -U} = \frac{M}{N}

Aplicamos la definición de logaritmo en esa igualdad:

a^{T -U} = \frac{M}{N} \longleftrightarrow log_a{(\frac{M}{N})} = T- U

Por lo que se definió al principio de la demostración, se conocen los valores de T y U, así que los reemplazamos en la ecuación:

log_a{(\frac{M}{N})} = \log_a{M} – \log_a{N} \square

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