Definición de logaritmo

¿Qué es un logaritmo?

Un logaritmo es la operación inversa de la exponenciación, es decir, te indica el exponente al cual se debe elevar un número para obtener cierta cantidad. Como ejemplo, supongamos que debemos obtener x en esta ecuación:

3^x=81

Queremos saber a qué x número tenemos que elevar 3 para obtener 27, dicho esto en notación logarítmica:

\log_3{81}=x

Podemos afirmar que x = 4 después de hacer esta operación.

Usando el ejemplo anterior, podemos establecer una correlación entre el logaritmo y la exponenciación, diciendo que ambas se cumplen a la vez:

3^4= 81\Longleftrightarrow \log_3{81}=4

Ésta es la definición formal del logaritmo:

a^x= M\Longleftrightarrow \log_a{M}=x

Cuando la base de un logaritmo no aparece, se supone que es 10 y se le denomina logaritmo decimal:

\log{a} = \log_{10}{a}

Cuando aparece ln, la base es el número e y se le denomina logaritmo neperiano o natural:

\ln{a} = \log_e{a}

Propiedades

Existen hechos que se deben conocer para facilitar el cálculo de logaritmos.

El logaritmo…

  • De 1 es igual a 0: \log_a{1} = 0
  • De a en base a es igual a 1: \log_a{a} = 1
  • De a elevado a una potencia en base a es igual a la potencia: \log_a{(a^x)} = x
  • De un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores (regla del producto, demostración): log_a{(MN)} = log_a{M} + log_a{N}
  • De un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor (regla del cociente, demostración): log_a{(\frac{M}{N})} = log_a{M} – log_a{N}
  • De una potencia es igual al producto del exponente y logaritmo de la base (regla de la potencia, demostración): log_a{(M^r)} = r \cdot log_a{M}
  • Puede cambiarse de una base a a otra base  b (regla del cambio de base, demostración): \log_a{M} = \frac{\log_b{M}}{\log_b{a}}

Propiedades poco conocidas

El logaritmo…

  • De M en base a es igual al logaritmo de \frac{1}{M} en base \frac{1}{a}, es decir, se obtiene el mismo resultado si evalúas la base y el número del logaritmo con sus inversos multiplicativos (demostración): \log_a{M} = \log_{\frac{1}{a}} {\frac{1}{M}}
  • De M en base a es igual a 1 sobre el logaritmo de a en base M(demostración): \log_a{M} = \frac{1}{\log_{M}{a}}

Datos importantes

No existen logaritmos…

  • De base negativa: \mathbf{\log_{\textcolor{red}{-2}}{35}}
  • De número cero o negativo: \mathbf{\log_{3}{\textcolor{red}{0}}}

El logaritmo…

  • De a elevado a una potencia no es lo mismo que el resultado del logaritmo de a, elevado a una potencia, por lo tanto, al segundo no se le puede aplicar la propiedad de pasar la potencia multiplicando: \log{(M^x)}\neq [\log{(M)}]^x
  • Puede darte como resultado un número negativo: 2^{-1} = \frac{1}{2}\Longleftrightarrow \log{2}{(\frac{1}{2})} = -1

Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.

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