Definición

Coeficiente binomial

El coeficiente binomial o combinaciones (sin repetición) corresponde al número de formas en que se puede extraer subconjuntos de tamaño a partir de un conjunto de elementos distintos. Éstas son algunas maneras en las que se representa y recibe el nombre de combinaciones de en : En los coeficientes binomiales, el orden no importa, es …

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El coeficiente binomial de m+n objetos tomando r es igual a la sumatoria los factores de los coeficientes binomiales de m y n donde sus objetos tomados suman r

Lo que se quiere decir es lo siguiente para enteros y : Demostración Para demostrarlo, primero vamos a tomar esta igualdad que sabemos que es cierta por leyes de los exponentes: Por el teorema del binomio podemos asegurar lo siguiente: De manera análoga: Por medio de esta equivalencia podemos obtener el coeficiente binomial de cualquier …

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La suma de los cuadrados de todos los coeficientes binomiales de una fila n es igual al coeficiente binomial de 2n tomando n objetos

Lo que se quiere decir es lo siguiente: Demostración Para demostrarlo, primero vamos a tomar esta igualdad que sabemos que es cierta por leyes de los exponentes: Por el teorema del binomio podemos asegurar lo siguiente: De manera análoga: Por medio de esta equivalencia podemos obtener el coeficiente binomial , de hecho, se encuentra justo …

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Coeficientes binomiales complementarios

Debido a la simetría del triángulo de pascal respecto a su eje vertical, se producen los coeficientes binomiales complementarios: Hay que resaltar el siguiente hecho: Por lo tanto, si dos coeficientes binomiales son complementarios, cuando sumamos los números de elementos que están tomando esto es igual al total de objetos (). Ejemplo Queremos saber si …

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Teorema del binomio de Newton

El teorema del binomio de Newton es una fórmula que nos proporciona una forma de desarrollar con sumandos la potencia enésima de cualquier binomio. Sean y números arbitrarios y un número natural. Entonces: Usando la notación sigma, puede escribirse también de la siguiente manera: Los términos de la forma se llaman coeficientes binomiales y representan …

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Principio de las casillas

El principio de las casillas, también llamado principio del palomar, principio de Dirichlet o principio de las cajas dice lo siguiente básicamente: Si se dispone de casillas para colocar objetos y , entonces en alguna casilla deberán colocarse por lo menos dos objetos. Una forma más general de enunciarlo: Sean ,  y  tres números naturales. Si se desean …

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Regla de Pascal

En combinatoria, la regla de pascal dice que para cada número natural se tiene lo siguiente: Demostración Partamos de un lado de la igualdad y desarrollemos para obtener el otro: Aplicamos la definición de coeficiente binomial: Simplificamos el denominador de la primera expresión y ordenamos un poco: Obtenemos en mínimo común múltiplo de los denominadores: …

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