El coeficiente binomial de m+n objetos tomando r es igual a la sumatoria los factores de los coeficientes binomiales de m y n donde sus objetos tomados suman r

Lo que se quiere decir es lo siguiente para m,n,r enteros y 0\leq r\leq m,n:

\binom{m+n}{r} = \binom{m}{0}\binom{n}{r}+\binom{m}{1}\binom{n}{r-1}+\cdots+\binom{m}{r}\binom{n}{0}

Demostración

Para demostrarlo, primero vamos a tomar esta igualdad que sabemos que es cierta por leyes de los exponentes:

(a+b)^m(a+b)^n = (a+b)^{m+n}

Por el teorema del binomio podemos asegurar lo siguiente:

(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots+\binom{n}{r}a^{n-r}b^r+\cdots+\binom{n}{n}b^n

De manera análoga:

(a+b)^{m+n} = \binom{m+n}{0}a^{m+n}+\binom{m+n}{1}a^{m+n-1}b+\cdots+\binom{m+n}{r}a^{m+n-r}b^r+\cdots+\binom{m+n}{m+n}b^{m+n}

Por medio de esta equivalencia podemos obtener el coeficiente binomial de cualquier término, digámoslo de una manera general:

\binom{m+n}{r}a^{m+n-r}b^r

Ahora sabemos que cualquier término debe repetirse tantas veces en los dos lados de nuestra igualdad inicial como nuestro coeficiente binomial, que por supuesto cambiará dependiendo de qué término queremos calcular.

\binom{m+n}{r}

Entonces, (a+b)^m(a+b)^n debe contener esa cantidad de veces todos los términos, de hecho, al desarrollarlo debe contener exactamente lo mismo. Reemplazemos por sus equivalentes del teorema del binomio:

\textcolor{blue}{(a+b)^m}\textcolor{green}{(a+b)^n} = \textcolor{blue}{[\binom{m}{0}a^m+\binom{m}{1}a^{m-1}b+\cdots+\binom{m}{r}a^{m-r}b^r+\cdots+\binom{m}{m}b^m]}\cdot\textcolor{green}{[\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots+\binom{n}{r}a^{n-r}b^r+\cdots+\binom{n}{n}b^n]}

Por la propiedad distributiva, sabemos que para desarrollar ese producto debemos multiplicar todos los términos del primer factor por todos los del segundo. Después de eso, tendremos exactamente lo mismo que del otro lado de la igualdad. Nos enfocaremos en obtener el coeficiente de algún término de una manera general, en otras palabras, no desarrollaremos todo el producto, sólo lo que nos conviene, es decir, buscaremos todos los factores que sumados nos dan:

\binom{m+n}{r}a^{m+n-r}b^r

Como ejemplo, tomemos el primer término del primer factor, es decir \textcolor{blue}{\binom{m}{0}a^m}, la pregunta es: ¿Con qué número del otro factor se multiplica y da como resultado un término con \binom{m+n}{r}a^{m+n-r}b^r? Pues la respuesta es solamente con \textcolor{green}{\binom{n}{r}a^{n-r}b^r}:

\binom{m}{0}a^m\cdot\binom{n}{r}a^{n-r}b^r= \binom{m}{0}\binom{n}{r}a^{m+n-r}b^r

Con eso tenemos nuestro primer término y va teniendo la forma a la que queremos llegar.

Analicemos lo mismo ahora para el segundo término del primer factor: \textcolor{blue}{\binom{m}{1}a^{m-1}b}. Necesita multiplicarse con el término antecesor del que se usó antes en el segundo factor: \textcolor{green}{\binom{n}{r-1}a^{n-r+1}b^{r-1}}:

\binom{m}{1}a^{m-1}b\cdot\binom{n}{r-1}a^{n-r+1}b^{r-1}= \binom{m}{1}\binom{n}{r-1}a^{m+n-r}b^r

Empezamos a ver un patrón, al seguir con los factores del primero, vamos retrocediendo en los del segundo y así se hacen las parejas de factores que dan ese térimino. Esto se hace r+1 veces (comenzamos desde el coeficiente binomial con 0). Notemos que al sumar los objetos que se toman de los coeficientes binomiales de los factores siempre nos dan como resultado r, por ejemplo 1+(r-1) = r.

Podremos decir entonces lo siguiente:

\binom{m+n}{r}a^{m+n-r}b^r = \binom{m}{0}\binom{n}{r}a^{m+n-r}b^r+\binom{m}{1}\binom{n}{r-1}a^{m+n-r}b^r+\cdots+\binom{m}{r}\binom{n}{0}a^{m+n-r}b^r

Factorizamos a^{m+n-r}b^r del lado derecho de la igualdad:

\binom{m+n}{r}\cdot a^{m+n-r}b^r = [\binom{m}{0}\binom{n}{r}+\binom{m}{1}\binom{n}{r-1}+\cdots+\binom{m}{r}\binom{n}{0}]\cdot a^{m+n-r}b^r

Nos interesan sólo los coeficientes binomiales, no les queda de otra más que ser iguales, finalmente llegamos a lo que queríamos demostrar:

\binom{m+n}{r} = \binom{m}{0}\binom{n}{r}+\binom{m}{1}\binom{n}{r-1}+\cdots+\binom{m}{r}\binom{n}{0}

Para garantizar que ningún factor se quede sin su pareja en la sumatoria, \binom{n}{r} y \binom{m}{r}deben existir, es decir, las filas m y n deben contener por lo menos hasta el término donde se toman r objetos. En resumen: 0\leq r\leq m,n

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