La suma de los cuadrados de todos los coeficientes binomiales de una fila n es igual al coeficiente binomial de 2n tomando n objetos

Lo que se quiere decir es lo siguiente:

\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\binom{n}{2}^2+\cdots+\binom{n}{n}^2 = \binom{2n}{n}

Demostración

Para demostrarlo, primero vamos a tomar esta igualdad que sabemos que es cierta por leyes de los exponentes:

(a+b)^n(a+b)^n = (a+b)^{2n}

Por el teorema del binomio podemos asegurar lo siguiente:

(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots+\binom{n}{r}a^{n-r}b^r+\cdots+\binom{n}{n}b^n

De manera análoga:

(a+b)^{2n} = \binom{2n}{0}a^{2n}+\binom{2n}{1}a^{2n-1}b+\cdots+\binom{2n}{r}a^{2n-r}b^r+\cdots+\binom{2n}{2n}b^{2n}

Por medio de esta equivalencia podemos obtener el coeficiente binomial \binom{2n}{n}, de hecho, se encuentra justo a la mitad de los sumandos de la expresión anterior, es decir:

(a+b)^{2n} = \binom{2n}{0}a^{2n}+\cdots+\binom{2n}{n}a^{n}b^n+\cdots+\binom{2n}{2n}b^{2n}

Ahora sabemos que el término a^{n}b^n debe repetirse \binom{2n}{n} veces en los dos lados de nuestra igualdad inicial:

(a+b)^n(a+b)^n = (a+b)^{2n}

Entonces, (a+b)^n(a+b)^n debe contener esa cantidad de veces el término. Reemplazemos por sus equivalentes del teorema del binomio:

\textcolor{blue}{(a+b)^n}\textcolor{green}{(a+b)^n} = \textcolor{blue}{[\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots+\binom{n}{r}a^{n-r}b^r+\cdots+\binom{n}{n}b^n]}\cdot\textcolor{green}{[\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots+\binom{n}{r}a^{n-r}b^r+\cdots+\binom{n}{n}b^n]}

Por la propiedad distributiva, sabemos que para desarrollar ese producto debemos multiplicar todos los términos del primer factor por todos los del segundo. Después de eso, el término a^{n}b^n estará \binom{2n}{n} veces. Por lo tanto sólo nos enfocaremos en obtener ese término, en otras palabras, no desarrollaremos todo el producto, sólo lo que nos conviene.

Como ejemplo, tomemos el primer término del primer factor, es decir \textcolor{blue}{\binom{n}{0}a^n}, la pregunta es: ¿Con qué número del otro factor se multiplica y da como resultado un término con a^nb^n? Pues la respuesta es solamente con el último, o sea con \textcolor{green}{\binom{n}{n}b^n}:

\binom{n}{0}a^n\cdot\binom{n}{n}b^n = \binom{n}{0}\binom{n}{n}a^nb^n

Resulta que \binom{n}{0} y \binom{n}{n} son coeficientes binomiales complementarios, en otras palabras, los dos nos devuelven el mismo valor, por lo que puedo tratarlos como algo igual:

\binom{n}{0}\binom{n}{n}a^nb^n = \binom{n}{0}\binom{n}{0}a^nb^n = \binom{n}{0}^2a^nb^n

Con eso tenemos nuestro primer término y va teniendo la forma a la que queremos llegar, hemos tomado \binom{n}{0} y no el otro coeficiente binomial porque nos conviene para llegar a lo que queremos demostrar.

Analicemos lo mismo ahora para el segundo término del primer factor: \textcolor{blue}{\binom{n}{1}a^{n-1}b}. Necesita multiplicarse con el penúltimo del segundo factor: \textcolor{green}{\binom{n}{n-1}ab^{n-1}}:

\binom{n}{1}a^{n-1}b\cdot \binom{n}{n-1}ab^{n-1} = \binom{n}{1}\binom{n}{n-1}a^nb^n

De nuevo vuelven a ser complementarios, por lo que hacemos lo mismo reemplazando para que se quede el coeficiente binomial que nos conviene para seguir la sumatoria de lo que queremos demostrar:

\binom{n}{1}\binom{n}{n-1}a^nb^n = \binom{n}{1}\binom{n}{1}a^nb^n = \binom{n}{1}^2a^nb^n

Empezamos a ver un patrón, al tomar el tercer término del primer factor y el antepenúltimo del segundo factor, nos dará como resultado \binom{n}{2}^2a^nb^n y así sucesivamente hasta hacerlo n+1 veces (porque la cada fila n siempre tiene n+1 términos, también podríamos justificarlo diciendo que comenzamos desde el coeficiente binomial con 0), en otras palabras, hasta \binom{n}{n}^2a^nb^n.

Podremos decir entonces lo siguiente:

\binom{n}{0}^2a^nb^n+\binom{n}{1}^2a^nb^n+\cdots+\binom{n}{n}^2a^nb^n = \binom{2n}{n}a^nb^n

Factorizamos a^nb^n del lado izquierdo de la igualdad:

[\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\cdots+\binom{n}{n}^2]\cdot a^nb^n = \binom{2n}{n}\cdot a^nb^n

Nos interesan sólo los coeficientes binomiales, no les queda de otra mas que ser iguales. Finalmente llegamos a lo que queríamos demostrar:

\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\cdots+\binom{n}{n}^2 = \binom{2n}{n}

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